【歪写数学史】第十七章 真理还是谬误—悖论

from 能说好动爱生活的刺客 http://blog.sina.com.cn/s/blog_8897e54201019vx9.html

1.引子

在一个百无聊赖的傍晚,你不远千米的来到水房和3号女生楼之间的必经之路,坐在路旁一把破旧的木椅上,先摆了一个遥望远方假装沉思的姿势,然后借着夕阳的余辉在心里给来来往往的师姐师妹们打分。突然你发现一个苗条飘逸的身影在向你靠近,随之而来的还有一道略带几分熟悉的注视。当你心里小鹿乱撞,感到受宠若惊的时候,这个身影已经来到了你的面前,你定了定神脱口而出道“二师兄,师父让你化的缘都化完了吗?”这不是悖论,这是你的眼镜又该换了。

那么,什么是悖论? Good
Question,让我再给你一个场景。

作为为数不多的平民代表,你站在你们系富二代同学家豪宅里正在进行的party现场,当然这个邀请只是富二代同学为即将到来的期末考试做的准备之一,party的主题是我有钱所以想怎么花就怎么花。在喧闹的音乐声中,你惊喜的发现一直暗恋的她一个人静静的坐在角落,然后你猛喝两口杯子里不知名的洋酒,借着酒精的力量走到她面前,试图用一句“hi,同学你好。”打穿那道看不见的墙。或许是朦胧的灯光增添了你五官的精致;或许是独坐的寂寞提升了她交流的渴望;再或许是酒精的作用赐给了你们彼此力量,这个never
work的开场白迅速开启了一段略带暧昧的对白。正当你沉醉于艳遇的快感,已经忘了自己的配角身份时,你的富二代同学从天而降,一手搭着你的肩,一边对她说“他跟你说的关于我的一切都是假的。”虽然你们没有说起一句关于他的话,但是很显然她的目光已经被他自信而略带挑逗的脸庞所吸引。

怎么回应才能从新夺回她的注意力呢?你此时心里最想的应该是一拳将你的富二代同学打到在地,然后一只脚踏在他身上说“你最好别碰我的妞。”但是你不能这么做,因为你所受过的教育告诉你打人是不对的,你也有可能因为出手而失去“优秀学生干部”的称号,更重要的是你的富二代同学虽然头脑简单,但是四肢发达,身为校篮球队主力小前锋的他比你高出20公分,重了40斤,在身后的音乐声中摇摆着的还有他几个铁杆队友,出手的结果很可能是你自己躺着出去。

当然你也可以列举最近被他甩了的一系列女友作为回击,这不仅正中他的圈套,而且古语有云“飞蛾扑火,”在没有被烧死之前,谁都想成为第一个驯服这团火的人,所以这很有可能是帮倒忙;就算她能悬崖勒马,你也最多得到一句“你真是一个好人”的奖励,然后就是形同陌路,仿佛从没有见过。为了一个追不到的妞,毁了你和富二代的关系,有点得不偿失。

好了,让我公布最佳答案,你回应“他说的这句话是真的。”

再让我们来分析一下得奖理由—这两句话的逻辑关系。富二代说,“今天你说的关于他的一切都是假的”,你说“他说的这句话是真的。”假设富二代说的是真话,那你的这句话也是假的,从而得出他说的是假话的结论;而假设富二代说的是假话,因为今天你只说了这一句关于他的话,所以这句话是真的,也就是说他说的这句是真话。不管你假设他的话逻辑上是真还是假总能通过逻辑推理得出矛盾的结论,这就是一个悖论。

在你得意洋洋的等待着她投来欣赏的目光时,最有可能的结局是她和富二代移步到楼上的卧室进一步交流,而你呆呆地站在原地望着他们离去的背影,并不停地在心里默念“不懂悖论的女孩不是好女孩”然后冲着他们的背影喊道“我真心祝你们幸福,”随着这句谎言,这个悖论也和她一起消失在楼梯的拐角处。(why?还请读者自行推理)

2.芝诺悖论

悖论的故事可以追溯到公元前的古希腊时代,画廊学派的创始人数学家芝诺就曾经有一系列的关于运动的悖论,被称为芝诺悖论。顺便说一下,画廊学派不是搞艺术的,而是哲学流派,得名的原因是他们喜欢在雅典的画廊里讨论和讲学。芝诺悖论虽然并不是一个悖论,但是它们都以描述运动的方式来揭示有限长度与无穷可分之间的矛盾。比如说有一个长度为一的线段,你可以把它等分成两个长度为二分之一的线段,然后再把每一段等分成长度为四分之一的线段,然后再等分,再等分,不论现有的每一段线段的长度是多么的小,你都可以一直继续下去,直到无穷,而且我们知道每一段线段长度的极限是0。套用微积分的语言是,任给ε>0,存在一个对应的正整数N,使得当分割的次数大于N的时候,每一段线段的长度都小于ε。好像也没什么矛盾,先让我们把这个问题放下,来看看芝诺悖论之一的阿基里斯和乌龟的悖论。考虑到阿基里斯的知名度,我这里给出的是变异版—刘翔和乌龟的悖论,您要是喜欢博尔特,把乌龟换成博尔特也行。

假设乌龟不是普通乌龟而是忍着神龟,刘翔也不是正常的刘翔,而是受了伤的刘翔,他们两个站在跑道上比赛
,因为刘翔带伤,所以乌龟让刘翔100米。说乌龟不会跨栏的同学请注意,第一这是忍着神龟,第二这次没栏。假设乌龟的速度是刘翔的十倍,那么当乌龟跑到刘翔出发点的时候,刘翔已经跑出去10米,等乌龟跑完这10米到达刘翔第二个出发点的时候,刘翔又跑出去一米,当乌龟跑完这一米时,刘翔又已经跑出十分之一米,乌龟要想追上刘翔,必须要先经过他的某个出发点,可是当乌龟到达这个出发点的时候,刘翔又已经离开了这个点,所以不管乌龟多么的快,永远不可能追上带伤的刘翔。

生活的经验告诉我们,只要跑道够长,速度快的选手总可以追上速度慢的选手,而且所需时间我们也可以简单的用起始的距离除以速度差求得,但是想要指出上面悖论里的问题并不是一件容易的事。为此数学家们用了超过一千年的时间才彻底的完全的解决了它。在给出解释之前,我想回到等分线段的问题,让我们看看有什么矛盾可能出现。

首先,我要问大家一个问题:0+0等于几?答案不是0的同学请自行面壁两分钟。再追问:一百个零相加呢?答案不是0的同学请自行面壁一百分钟。一千个呢?一百万个呢?答案不是零的同学请自行面壁相应时间。最后一个问题,无穷多个零相加呢?这次答错的同学只能有缘来生再聚了:P。这次是开玩笑的,实际上答错的同学有一点很可取,就是想到了无限和有限的区别。不过再多的零相加还是零。

第二,我们等分线段无穷多次,每一段的长度是多少呢?非常接近于0,要多近有多近,但是不是0呢?
让我们把所有线段的长度加在一起,答案是多少?1,因为最初的线段长为1。如果每段线段长度是0,那么就有问题了,因为无穷多个0相加还是0,所以每段线段长度不是零,有一个专用的数学名词称呼它,无穷小。无穷小和零要多近就有多近,但是它们不一样,有些时候,它们的区别太过细微,以至于我们不用去区别,但这不意味着它们是相同的。问题还没有结束,无穷个无穷小相加是多少呢?(因为是线段长度,我们只考虑正无穷小)回答为1的同学显然记住了这个例子,但是如果满分是1分,我只能给你1除以无穷大也就是无穷小分,因为答案有无穷多个。假设开始的时候我们等分长度为2的线段,无穷次等分之后是不是每一段的长度都是无穷小?再把它们相加得到的是原始长度2。如果最初线段长度是e呢?所以无穷个正无穷小相加可以是任何正实数。说的我好累,也不能让你们闲着,来两道作业题吧,请大家踊跃发言。
(1) 无穷个无穷小相加可以是0吗?
(2) 无穷个无穷小相加可以是正无穷吗?
【本段非数学专业可以忽略】说到这,我想到一个定理,与这个例子并不相同,但我感觉有着异曲同工之妙,就是任给一个实数r,任何一个条件收敛级数都有一个重排(Rearrangement)收敛到r。一个典型的例子就是交错调和级数(Alternating
harmonic series)。
现在再回到刘翔-乌龟悖论。假设乌龟的速度是10米/秒,刘翔的速度是1米/秒,开始的距离是100米,那么乌龟要用100/(10-1)=100/9秒的时间追上刘翔,在我们的悖论中,乌龟需要100/10=10秒到达刘翔的第一个起点,10/10=1秒到达刘翔第二个起点,1/10=0.1秒到达第三个起点,0.01秒到达第四个起点,10^(-n)秒到达第n+2个起点……,把这些时间相加
10+1+1/10+0.1/10+0.01/10+……=11.1111……=100/9
这是一个非常简单的几何级数(Geometric
series),小学奥校词汇是等比数列的和。因为比值是1/10,我们甚至都不用公式就可以得到无限循环的小数解,分数是一模一样的答案100/9秒。既然两种方法得出的答案一样,那问题出在哪儿?如果你意识到左边的级数是一个无穷级数的话,芝诺把一个有限的数100/9分成了无穷多个数的和,也就是把一个时间段100/9秒分成了无穷多个时间小段,第一段长10秒,第二段长1秒,第三段0.1秒……,这个无限的过程仿佛让时间也扩展的无限,但是回到数学问题,就是一个收敛的几何级数而已。

3.辛普森(Simpson’s paradox)悖论

1951年,这个悖论第一次正式出现于论文当中,并得名于第一个将它正式描述的人—英国统计学家E.H辛普森。这是一个简单而有趣的悖论,我本人对统计知之甚少,但是这个悖论却深深的留在了我的记忆里。

假设有两个篮球运动员,为了不得罪任何球迷,一个是叫做科比•詹姆斯,简记为KJ,另一个是勒布朗•布莱恩特,简记为LB。假设在本赛季,他们都出手了1000次,KJ命中538球,而LB命中497球,那么你认为谁投的更准些呢?我知道这一道看起来非常弱智的问题,KJ命中率是53.8%,而LB是49.7%,这不显而易见吗?但是此事另有蹊跷,还听我慢慢道来。

我们知道在篮球比赛中除罚球外有两种投篮得分,二分球和三分球,如果我告诉你,LB虽然总命中率低于KJ,但是二分和三分都比KJ投的准你相信吗?不信?那就让数据说话,请见下表。

二分球

三分球

总数

二分命中率

三分命中率

总命中率

KJ

499/892

39/108

538/1000

55.94%

36.1%

53.8%

LB

162/273

335/727

497/1000

59.34%

46.1%

49.7%

可以看到LB不管是二分球还是三分球的命中率都高于KJ,但是总命中率却低于KJ,究其原因是LB更多选择投篮难度大的三分球,而KJ更多打到篮下,得分更容易些。如果不考虑投中加罚和杀入内线造成的杀伤,LB通过投篮得了1329分而KJ只得到1115分,仅就投篮而言谁好谁坏不言而喻。

辛普森悖论在现实生活中发生的几率并不高,但是一旦发生犹如足球中的反判与真相完全是背道而驰。个人认为辛普森悖论的人文意义大于数学意义,一方面比较两个人的时候不能只关注完成某些事情的数量和成功率,还要考虑完成的质量和难度,甚至是失败的次数。人一生当中最难的动作就是超越自我,能够勇于去挑战的人也许会一次次失败但依然值得尊敬。另一方面,每个人都要理解现存于社会的游戏规则在很多时候会用简单地量的比较作为评判标准,这个规则不一定是最科学的,但却是最有效的。如果你选择去走一条超高难度的路,你就要做好不被认可的准备,好比两个人大学毕业都从事数学研究,一个人的目标就是不用计算机证明四色原理,另一个就是尽一切可能的发文章,数十年过后,第一个人可能貌似一事无成,第二个人可能已经著作等身,头顶光坏。我不觉得这两种做法存在好坏之分,只是人生态度的不同,但是还有一句话叫做“态度决定一切”,你可以选择你的态度,你也要为你的态度带来的一切买单。

4.理发师悖论

理发师悖论被广泛的应用于开发少年儿童的智力上,也是我所知道的最早的一个悖论。故事是这样的,从前有个村,村里有座庙,庙里有个老和尚给别人刮胡子,刮的谁的胡子呢,村里所有不给自己刮胡子的人胡子,而且只给这些人刮。问题是这样的,老和尚要不要给自己刮胡子?如果他给自己刮,那么他就是给自己刮胡子的人,他就不该给自己刮;如果他不给自己刮,那他就是不给自己刮胡子的人,他就应该给自己刮。这个悖论的产生和引子里的故事如出一辙,都是通过逻辑推理自相矛盾。

理发师悖论只是罗素用于比喻罗素悖论的一个通俗的说法,我们可以自己创造出很多这样的例子。本章我不打算解释罗素悖论,因为罗素会作为某章的主人公稍后出现,而在他之前,我们还需要另外一位数学家—康托尔去开创集合论。集合的概念基本上被用于数学各个分支,而罗素悖论就动摇了这个基石,从而引发了数学史上的第三次危机。对政治来说自相矛盾也许是人之常情,但是对于从公理出发,以严谨推导而著称的数学来说,基石的毁灭将会引起整个数学大厦的倾覆。

最后让我用一个一句话的悖论来作为本章的结束语—“我在说谎!”

 青春就应该这样绽放  游戏测试:三国时期谁是你最好的兄弟!!  你不得不信的星座秘密

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