【歪写数学史】第十五章 椭圆双雄—阿贝尔和雅可比

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当23岁的阿贝尔站在人来人往柏林街头,茫然无措的不知向左还是向右的时候,就在不远的柏林大学里,21岁的雅可比正在庆祝他刚刚获得的博士学位。在柏林的茫茫人海中,也许他们曾经擦肩而过,或许有过目光交错,可他们的命运就像是椭圆的长轴与短轴,虽然在椭圆的中心相交,但它们的方向却是大相径庭。

 

就在两年之前,一个叫做椭圆函数的东西将他们连到了一起,在完全不知道对方的情况下,他们各自开始了对椭圆函数的独立研究,并被公认为是椭圆函数论两个独立的奠基人。椭圆函数的出现让花费了勒让德半生精力的椭圆积分瞬间失去了大部分意义,当勒让德理解了这两位年轻人简洁而有力的发现时,给予了高度的评价。这份迟到的评价让雅可比如虎添翼,却只能成为阿贝尔的墓志铭。

 

椭圆函数和椭圆算是远房亲戚,它是在求椭圆弧长时出现的椭圆积分的逆函数。它在复平面上的双周期性可能用正弦或者余弦函数来说明会更简单一点。正弦函数是一个周期为2π的函数,如果你以2π为单位长度去切割实轴,那么在每一段上的函数图象都是一样的。你可以先在0的地方切一刀,然后0到2π为一段,这样做仅仅是为了美观,实际上每一段的起点和终点都无关紧要,只要长度是2π就行。下面我们来考虑一个定义在整个复平面上的椭圆函数,想象它的图像是一个覆盖整个复平面的曲面。再假设它有两个周期,一个实周期1和一个虚周期i,那么我们可以做一个正方形,四个顶点分别为原点(0,0),(1,0),(0,i),(1,i),然后我们在这个正方形的上下左右再做四个一模一样的正方形,使得他们分别与第一个正方形共用一条边,一直这么做下去,我们可以用边长为1的正方形覆盖整个复平面,就如同给一张白纸打上了方格。所谓的双周期性就是在每一个小正方形上面的函数图象都是一样的。如同正弦函数,这些正方形的顶点位置并不重要,你可以从任意位置开始。双周期并不一定是一个实数,一个虚数,也不一定有一样的模长,更为一般的情形是两个复周期,然后划分整个平面的不是正方形,而是平行四边形。椭圆函数之所以重要,是因为它的出现拉开了19世纪数学的核心研究之一—单复变函数的大幕。

 

 


阿贝尔出生于挪威一个小村庄,父亲是村里的牧师,算是个文化人,母亲据说非常美丽,阿贝尔从父亲那里继承了聪明才智,而从母亲那里继承了漂亮的外表。除了贫穷,没有其他什么事情能够影响这个有着七个孩子的幸福家庭了,贫穷也不是他们一家的错,整个挪威当时都处在吃不饱穿不暖的贫困状态。雅可比的情况与此恰恰相反,作为一个成功的银行家的儿子,他的家庭相当富有,直到36岁时家族的破产,贫穷一直是一个和他毫无关系的词汇。

 

阿贝尔的数学天赋最早是被一个霍尔姆伯的数学教师发现的。作为一个数学工作者,霍尔姆伯并没有什么值得炫耀的天才,但是他有一双发现天才的眼睛。他们第一次相遇时,阿贝尔已经十五岁,相比于其他天才数学家,阿贝尔已经稍稍落后,但是阿贝尔追赶的脚步也是异常的迅速,在霍尔姆伯的悉心指导下,阿贝尔跳过了那些对他没有必要的入门课程,直接从牛顿,欧拉,拉格朗日的著作开始,到十六岁的时候,他已经读完了高斯的经典《算术研究》。阿贝尔总结自己迅速成为一流数学家的原因时说道,“向大师们学习,而不是向他们的学生们。”在和阿贝尔接触一年后,霍尔姆伯就认定挪威出了一位可以享誉欧洲的数学家,他们也从师生变成了挚友,并且从此在各方面,特别是在经济上,霍尔姆伯对阿贝尔进行了力所能及的帮助。19岁的阿贝尔靠奖学金和资助在奥斯陆大学拿到了初等学位。由于一年前父亲的去世,家庭的重担已经完全落在了他的肩上。他只有不停的教课挣钱养家的同时尽量用自己的业余时间去研究数学,好在他早已习惯了这种清苦的生活。

 

作为挪威最伟大的数学家,挪威从没有忘记过阿贝尔,在首都奥斯陆的皇家公园里伫立着他的雕像,那是一个无所畏惧的青年,在他脚下是两只被驯服的怪兽,一只代表椭圆函数,而另外一只代表的是五次方程。方程求解作为代数领域里最早的研究方向甚至可以追溯到公元前两千年的古巴比伦时代,一元四次方程的解决方法也在十五世纪由意大利数学家费拉里给出,而此后差不错三百年的时间里,几乎每一个对代数有点见地的人都曾经尝试过这个看起来并不算很困难的问题,但是没有人真正成功过,意大利数学家鲁菲尼是最接近成功的一个人,但是他的证明有明显的漏洞,阿贝尔是第一个彻底解决了这个问题的人,他证明了求根公式的不存在,并且给出了一个一般一元五次方程可以通过加减乘除和开平反运算得到解的充分条件,这个充分条件使得阿贝尔在一个他从来没有涉足过的领域—群论里鼎鼎大名。随便翻开一本抽象代数或者群论最入门的教材,阿贝尔群(交换群)都是必不可少的内容。阿贝尔并未停止与此,他还思考了对于一般n次代数方程求解的问题,非常遗憾的是他并没有完成对这个问题的探索。

 

就在阿贝尔解决五次方程求解问题的同时,雅可比也在柏林尝试着同样的问题,但是却以失败告终。不同的数学天赋让雅可比没有阿贝尔的严谨与想象力,但是作为历史上三大最具运算能力的人之一(另外两位是欧拉和印度天才拉马努金),他的天赋体现在处理复杂和繁琐的运算上,所以他在力学和数学物理里等应用领域里都有着不俗的贡献。此外雅可比非常地勤奋,当有人向他抱怨长时间艰苦的科学研究会损害健康的时候,他回答说,卷心菜不会紧张也没有烦恼,但是它能从它的健康里得到什么呢?勤奋所以多产,不单是著作,还有七个孩子,而此后在柏林科学院工作,被普鲁士国王资助再加上勤奋和计算能力,让我不得不怀疑会不会是欧拉转世。


在学习数学的方法上,雅可比和阿贝尔惊人的一致,都是直接从大师的著作开始,如果说阿贝尔选择这种方式多多少少是因为挪威匮乏的数学教育资源,而雅可比更直接,他认为大学里那些课程都是废话。

 

伟大的数学家并不都是伟大的老师,过于跳跃的思维有时候会让人难以跟上他们的步伐,雅可比和阿贝尔都可以算的上是好老师,不过要是比较的话,胜利的是雅可比。博士还没毕业的雅可比已经是柏林大学的讲师了,他在教学中讲述最新的研究,鼓励学生独立思考和工作,他认为应该把学生直接扔到冰水里,由他们自己学会游泳或者淹死。这种新颖的教学方式受到了学生的欢迎(应该是会游泳的学生的欢迎,淹死的也没机会说话了),也得到了教育界的认可,在他博士毕业的时候,柯尼斯堡大学也把他聘为讲师。在23岁时他被升为副教授,主要原因是他的一些数论的成果赢得了高斯的称赞,于是教育部马上关注和提拔了这个年轻人,因为他们知道高斯是不轻易称赞别人的。此后高斯一直对雅可比非常关注,当他的家族破产的时候,高斯还担心他的经济状况。如果高斯能够把他对雅可比的关注分一点点给阿贝尔,那么阿贝尔很有可能在他有生之年就得到他应有的荣誉,也很有可能延长他的数学生涯。

 

对于高斯,阿贝尔起先是非常的崇拜,他盼望有一天能得到王子的认可。于是当他好不容易得到政府的资助可以去欧洲游学的时候,他没有选择最强的法国而是德国作为他的第一站。在开始这次旅行之前,阿贝尔自费印刷了他关于五次方程的论文,因为经济原因,他把的结果浓缩在六页不那么精致的纸上,他相信这是他打开欧洲数学最高殿堂的钥匙。论文早于阿贝尔到达德国,据可靠的消息,当高斯收到论文时连读都没有读就把它扔在了一边。虽然我马上就要为高斯辩护,但是我还是要说,对待年轻的科学家们,高斯很少展现出像对雅可比那样一个王子应有的大度。仅就这件事来说,高斯有情可原。前文提到五次方程问题是个百年老坑,每一天都有人继续往里跳,这些人有数学家比如欧拉,拉格朗日,还有民间数学家比如张三和无名氏。数学家对于自己的工作很清楚,但是民数就完全没有概念了,很多证法完全是天马行空,只能用想象力丰富形容,这些证法的发明人都梦想着能借巨人之手一朝成名,所以大部分寄给了当时最出名的数学家高斯。所以当高斯收到阿贝尔的证明的时候,又把这个几页纸的证明当成了民数的科幻小说。当阿贝尔得知这件事以后,他停留在了柏林,而没有去拜访在哥廷根的高斯,从此以后阿贝尔对高斯的态度也来了个180度转弯。很难说阿贝尔和高斯谁失去了更多,但是可以确定是数学上的损失。

 

在柏林,阿贝尔遇到了一个对他和雅可比都有着巨大影响的人—克列尔(Crelle),这个名字在此后的百年时间里几乎和每一个一流的德国数学家都有关联。克列尔本人不算是数学家,只能说是爱好者。作为工程师,克列尔修建了德国的第一条铁路,事业上的成功给他带来了丰厚的利益,所以他可以花更多的时间在他喜欢的数学上。但是他的数学天赋不足以让他做出任何值得记住的贡献,所以他克列尔了曲线救国的道路,而事实证明他的选择极为正确,他对数学的贡献甚至超越了同时代大部分数学家。在遇到阿贝尔之前,克列尔正打算创办世界上第一本纯数学的期刊《纯粹数学与应用数学杂志》。当他遇到阿贝尔之后,虽然无法理解阿贝尔的所有成果,但是深深被阿贝尔打动,并决定让阿贝尔当正在筹办的杂志的第一位撰稿人。在最初的三本期刊上有阿贝尔7篇文章,包括五次方程没有一般代数解的证明,这些文章让阿贝尔的名字传遍了欧洲,也给这本杂志带来了最初的知名度。在阿贝尔去世以后,高产的雅可比接过了撰稿人的大旗,据说在很长一段时间内,平均每本期刊上有三篇雅可比的文章,再往后还有维尔斯特拉斯,克罗内克,康拓等人为这本杂志添砖加瓦,这是后话,暂且不提。

 

离开德国,阿贝尔来到了巴黎,在这里他受到了拒人于千里之外的礼貌接见。当时拉格朗日已经去世;另外两个L都已经年过70,拉普拉斯是什么都不干了;勒让德还在努力地工作着,但是思维和精力已经大不如前了;傅里叶得了终身秘书的闲职以后就只剩下夸夸其谈了;泊松正忙着和安培做电磁方面的研究,数学已经不是首要任务了;还有一个德国人狄利克雷,正在为回国做准备;全科学院只剩下38岁的柯西还在正常工作。1826年10月的一天,题为《论一类非常广泛的超越函数的一般性质》的论文呈交到巴黎科学院,这篇论文在勒让德理解之后被他称作“永远的纪念碑”,被雅可比称作“这个世纪最伟大的发现”,埃尔米特说“这是阿贝尔留给未来500年内数学家的工作。”就是这样一篇重要的论文被忙于自己事业的柯西带回家后不知道放到哪里去了。直到1830年,阿贝尔已经离开这个世界,柯西才把它翻了出来,为此挪威曾向法国提出外交抗议。最可悲的是,这不是柯西不最后一次犯这个错误,而他的下一次错误将更加致命。

 

当阿贝尔还在巴黎寻找他渺茫的希望时,克列尔正在全力为他申请柏林大学的数学教授职位,并写信劝说他到柏林去定居,于是阿贝尔又回到了柏林,此时他已身无分文,并且身体越来越不好,有一种传闻是他在巴黎已经被诊断出肺结核,这在当时是不治之症。眼看着柏林大学的职位遥遥无期,阿贝尔向霍尔姆伯紧急借了一些钱,设法回到了挪威。即使当时阿贝尔已经是挪威公认的数学第一人,但是还是很难找到一个数学教授的职位,因为整个挪威那时都没有什么像样的大学,仅有的几个职位都没有空缺。实际上经济问题并不是阿贝尔的首要问题,他的名气给他带来了一些工作和收入,也有一些富人愿意对他进行资助,但是他的身体却越来越差,到1829年初的时候,他已经经常进入昏迷状态。在阿贝尔生命最后的几个月里,他的未婚妻一直陪伴他左右,并且拒绝一切帮助,“我要单独享有他最后的时刻”她说。爱情应该是上帝给予阿贝尔的最后奖赏,同年4月,阿贝尔离开了这个世界,年仅26岁8个月。

 

相比于阿贝尔短暂而曲折的一生,雅可比大部分时间过着一个勤奋而正常的数学家该有的生活。家族的破产并没有影响他,大学教授的收入已经足够维持他所需要的生活。唯一值得一提的是他生命中最后几年里曾经涉足过政治,但是数学家严谨的逻辑和对于真理天真的执着和政治显然是背道而驰,这次不成功的冒险差点使他失去了普鲁士国王的资助。这里稍微提一下欧洲君主的开明,雅可比一直拿着国王的津贴,却参加了一个自由派的组织,这件事发生的时间是雅可比因为身体不适,国王准许他无限期的带薪休假的过程中。自法国大革命以后,任何一个国王都知道除了保皇党以外的其他党派是怎么回事,因此雅可比的津贴被停止了,仅此而已。稍后在洪堡的劝说下,因为普鲁士不希望失去一个伟大的数学家,津贴又被恢复了。再来说说阿贝尔所在的挪威,当阿贝尔展示出超越了挪威这个小舞台的天才时,挪威的数学家天文学家们要求政府资助阿贝尔去欧洲,政府先是给了一个折中的方案,资助阿贝尔在挪威学习德语和法语,一年以后当呼声再次响起的时候,政府妥协了,给阿贝尔准备了一笔并不丰厚但是够用的资金。请注意挪威政府可不是公务员比例和公款消费都居世界第一的那个富政府,挪威当时是绝对的第三世界,只有一个穷的叮当响的政府。如果我没有记错,好像这样的自由和民主在社会主义初级阶段还从来没有实现过。47岁的时候,雅可比死于天花而不是象大家预料的那样死于过度劳累,对于傅里叶对他和阿贝尔两人把精力花费在椭圆函数这样的纯数学而不是向大众解释自然科学现象的指责,他回答说,“科学唯一的目的是对人类思想的荣耀,”这也很好的解释了他心中的数学和他一生的追求。

 

阿贝尔的坎坷与出生于挪威这个当时不入流的国家有关,除了进入海盗圈,身为北欧人在当时基本上和科学没什么大关系。如同如果现在越南宣布出了象梅西一样的天才足球运动员,你估计也就相信他有梅西的身材。不过有弊也有利,当阿贝尔变成民族英雄被国家记住的时候,雅可比得到了高斯的关注,享受了国王的津贴,而他的星光却也只能被高斯和希尔伯特的日月光芒所掩盖。

 

在阿贝尔死后第二天,他收到了柏林大学数学教授的任命通知书,如果能够成行的话,他将和雅可比成为同事,惺惺相惜,强强联合,双剑合璧……,在数学里这不是一个假命题,而是一个空命题,所以在这里也没有讨论的必要。一年后,他收到了法国科学院的论文接受函和他与雅可比分享的大奖。在他的影响下,挪威又出了两位世界级的数学家西罗(Sylow)和李(Lie),他们都将继续研究阿贝尔的五次方程没有代数一般解所引发的群论,不过在此之前,还需要一位比阿贝尔更天才,生活更传奇,生命更短暂的年轻人—伽罗华,来完成阿贝尔留下的关于n次方程的题目,彻底打开群论的大门。

 

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