歪写数学史 第九章 三个“L”之文艺“L”—拉格朗日(Joseph Lagrange)

from 不停写paper的刺客的博客 http://blog.sina.com.cn/s/blog_8897e542010195ka.html

腓特烈大帝说,“拉格朗日是欧洲最大的数学家。”

拿破仑说“拉格朗日是数学科学一座高耸的金字塔。”

我说,“拉格朗日可能是数学家里最有文艺范儿的。”

“我希望死,是的,我希望死,我在死亡中发现了一种愉悦。”这是拉格朗日在76岁临终之前说的最后一句话。倒回二十几年,在一个法国巴黎上流社会的聚会中,拉格朗日一个人站在窗前茫然若失的凝视着窗外一言不发,他的背影对那些前来对他表示敬意的客人们就像是一幅冷漠的风景画。再让我们转换空间,卢浮宫内豪华而舒适的寓所,拉格朗日一个人静静地坐在午后温暖的阳光里,在离他不远的书桌上放着他一生中最重要的成果《分析力学》,从两年前这本书的出版以来,他只是让灰尘轻轻的飘落在封面上而从来没有打开过。情绪化对待真实生活文艺青年必备素质之一。在拉格朗日一生中时不时闪耀出的文艺范儿可能是因为在意大利出生的他多少受到了达芬奇,拉斐尔和米开朗基罗(不是忍者神龟)的影响。

好吧,我承认把拉格朗日定位于“文艺”L是剧情需要,说拉格朗日是文艺青年也有些牵强附会,在那个时候的欧洲,随便一个受过点教育的人都有着现在所谓文艺青年无法理解的艺术气质,其实拉格朗日从小一直都是积极向上的好孩子,而且算是少年成名。他一共有过10个兄弟姐妹,而他是唯一没有夭折的。因为继承了一大笔遗产,他的父亲很富有,不像中国父母对待独子那样,他的父亲对钱很有计划,等到拉格朗日可以继承财产的时候正好把能卖的都卖了,能花的都花了。拉格朗日对此的评价是,这是他一生中最幸运的事,否则他就会与数学擦身而过。我觉得最幸运的是,他没有从他父亲那里继承一大笔债务,以他父亲的生活方式,如果他再晚几年继承的话很有可能变成现实。

也许没有高斯那样的天资,但朗格朗日的数学天赋毫无疑问在所有数学家中也是出类拔萃的。他对数学的兴趣源自于他十七岁时英国数学家,第一个预言扫把星回归周期的埃德蒙·哈雷(EdmondHalley)一篇称赞微积分的文章,在此之前,他对数学没有任何兴趣。当然天才与普通人的区别就是,一旦兴趣来了,那真是流氓会武术,谁也拦不住了。拉格朗日只用了不到一年的时间就完全掌握了他那个时代最先进的数学分析。十八岁时写出了他第一篇论文用牛顿二项式定理处理两函数乘积的高阶微商并寄给了当时欧洲最出色的数学家,柏林的欧拉,后来发现他的结果在五十年前被一个叫莱布尼兹的人已经发现了。如果你认为拉格朗日和勒让德一样倒霉那就错了,十九岁的时候,拉格朗日利用变分法解决了等时曲线问题,并又把结果寄给了欧拉。据说欧拉已经基本掌握了拉格朗日的方法并已使用多年,但是当欧拉看到拉格朗日的结果是,他给予了充分的肯定并一直等到拉格朗日率先发表了他的论文,“这是为了不剥夺你应得的荣耀”。不知道是不是通过这件事,拉格朗日和欧拉成为了一生的朋友,而且实际上欧拉是拉格朗日的博士导师。从这个角度来看“套磁”是有效的而且是有历史依据的。顺便提一下,欧拉的博士导师是伯努利家族的约翰·伯努利,而拉格朗日也有两个举足轻重的博士生傅里叶和泊松。论文的发表使拉格朗日在当地一炮而红,在伽利略之后,意大利已经很长时间没有一个在欧洲有影响的科学家了,19岁的他被任命为都灵皇家炮兵学院的数学教授,23岁的时候成为柏林科学院的外籍通信院士,并成为和欧拉,伯努利们并列的欧洲一流数学家。


 

变分法在伯努利家族那一章里提到过,最初的萌芽上是从约翰·伯努利最速曲线问题,后来很多数学家都做出过贡献,包括约翰的兄弟雅克布,洛必达(Marquis
de l’Hôpital),牛顿,莱布尼兹,欧拉,以及拉格朗日之后的高斯,柯西,泊松(Simeon
Poisson),雅克比(Carl
Jacobi)直到维尔斯特拉斯(Karl
Weierstrass)才算把变分法系统和完整的发展起来。当然贡献最大的应该是拉格朗日和欧拉,时至今日,变分法里最重要的一个方程叫做欧拉拉格朗日方程。

拉格朗日的另外一个杰作是《分析力学》,这本从他19岁就开始构思的巨著在一般力学中的地位就如同万有引力在天体力学中的地位。在这本书中,拉格朗日利用变分法统一了一般力学拉而且又展现了他文艺的一面。汉密尔顿说对此书的评价是,这是科学的诗。但我觉得最文艺的地方就如拉格朗日在前言中写到的,在这本书中你找不到图。回想中学物理课上不厌其烦的用平行四边形法则和直角三角形对一个力进行分解,原来牛人是不用画图的。首先拉格朗日和高斯一样不喜欢几何。其次是学过解析几何的读者都知道虽说图形很有帮助但不是必须的,只要有了图形对应函数的表达式,任何局部或整体的性质都可以在没有图形的情况下得到。最后一点,拉格朗日考虑的力是四维空间里的力,空间加上时间,所以做图本身就是一件不可能的事,即使是三维的力在没有MatlabC++等软件帮助的情况下,也非常困难。他对于力的这种描述方式直到1915年爱因斯坦用于广义相对论才开始真正流行。这本书直到他51岁的时候才在巴黎出版,勒让德是书的编辑,不过在那个时候,拉格朗日对数学甚至是对生活都失去了兴趣。

除了变分法和《力学分析》外,拉格朗日还有一个很重要的贡献就是解决了“三体问题。”不要想歪,这个“体”是天体可不是人体。因为这个贡献,他在1764年和1772分别获得了法国科学院奖和巴黎大奖。那么什么是“三体问题”呢?这要从牛顿的万有引力说起。万有引力都懂吧?就是一男一女总会产生互相吸引的力,为什么叫“万有”呢?那是因为后来发现两个男的或是两个女的也会产生互相吸引的力。什么?晕,不好意思,拿错剧本了。万有引力应该是两个物体通过连心线方向上的力相互吸引。该引力的大小与它们的质量乘积成正比,与它们距离的平方成反比。看见了吗?与质量的乘积成正比,所以减肥的女生要注意了,当你的质量减轻的同时,你对另一半的吸引力也随之下降了,这是有科学依据的。什么?又错了。好吧好吧,万有引力不适用于追求身材的女性,哎,你说牛顿也不给个小注。三体问题呢就是三个天体两两互相吸引,他们的运动轨迹有没有什么规律?这可比万有引力复杂。好比一男一女本来感情稳定,家庭和睦,突然又冒出一位,这问题一下就复杂了去了。拉格朗日呢有条件的解决了这个问题,条件就是他假设其中一个天体的质量小到可以忽略不计,比方说太阳地球月亮,月亮就是那个不考虑质量的天体,在这种情况下,他算出5个月亮可能出现的位置。也就是说凡是满足三体条件的,最小的那个天体只会出现在5个位置。这五个位置也被称作拉格朗日点。知道拉格朗日点有一个好处就是比方说你要发射一个卫星,你可以把卫星地球和太阳看成一个三体问题,然后把卫星发射到一个拉格朗日点,当然随着地球的公转,拉格朗日点也会改变,但是不用担心,卫星会因为万有引力的关系始终相对稳定的待在拉格朗日点。

拉格朗日一度很颓废,我认为是因为爱情。他第一任妻子的过世给了他很大的打击,虽然在结婚的时候用他自己的话说,他并没有计算出是做对了还是错了,但是当妻子病倒了以后,他日日夜夜的守在她身边,当她去世的时候,他悲痛欲绝。在此之后,他自己的话是,我的工作减少到在只是安静和沉默中从事数学工作。后来拉格朗日又振作起来了,还是因为爱情的力量。在56岁的时候,他的一个朋友比他小几乎40岁的女儿坚持要嫁给他,而事实证明这是一段成功的婚姻,拉格朗日又焕发出了第二春。这件事说明拉格朗日生活很有规律,即使在颓废期也没有忘记锻炼身体,为第二春打下了良好的身体基础。当然40岁的年龄差在数学圈里虽然很罕见,与物理圈一比只能说是小巫见大巫了。

拉格朗日生在意大利,在30岁的时候被腓特烈大帝德邀请到德国担任柏林科学院数学部主任,50岁的时候又接受路易十六的邀请到法国科学院任职,其后经历了法国大革命,又受到拿破仑的赏识,在委员会中任主席,而开始时同在委员会的拉瓦锡和拉普拉斯都被清除了出去。能在不同的国家,不同的民族,不同的环境下利于不败之地,是因为拉格朗日谈吐柔和的风度和谦虚谨慎的性格。他始终跟随他自己的信仰与追求,当革命党要处死他的朋友化学家拉瓦锡时,他说“处死他只需要几秒钟,但是要再等一个像这样聪明的头脑却需要几百年。”他既不支持保皇党,也不支持革命党,他认为两方面都践踏了文明。他只做他自己认为对的事情,从不妥协于任何权利与统治者。在下一章,我们将看到另一个L以不同的方式确保自己的荣誉和地位,在同一时代,他们做到了同样的事,但是当我们回顾历史的时候他们却有着截然相反的评价。当每一个小圈子,小团体,小社会上演着权利之争的宫廷戏的时候,总是有些人会担心站错队,不知道该怎么办,也许最好的方式就是做好自己该做的事,不去跟随任何权利而只跟随自己的良心。也许你会说不是每个人都会像拉格朗日那样幸运,难道为了良心不值得放弃些什么吗?

 

 

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