[歪写数学史]第十二章  现代数学第一人—柯西 (Augustin Louis

from 不停写paper的刺客的博客 http://blog.sina.com.cn/s/blog_8897e542010195kt.html

柯西的这个名头有点大,虽然柯西的贡献毋庸置疑,第一人并不是指柯西对现代数学的贡献,而只是他出现的时间。如同从文言文到白话文,即使有新文化运动的推波助澜,改变也并非一夜之间,数学发展绝对是一个连续而非离散的过程,因此我们不可能用历史上的某一天划分数学。柯西与三L都有着或多或少的交集,他的一生的大部分时间与高斯重叠,他的数学成就毫无疑问是建立在众多前辈所打下的基础之上,但仅就今天数学严谨的形态而言,可以说柯西是把这种严谨带入数学的第一人。比如说极限的概念,毫无疑问牛顿,莱布尼兹,拉格朗日,高斯都理解这个概念,可是如果让他们给完全不懂数学的人去讲解这个概念很可能只是挑战他们自身忍耐的极限。柯西是第一个给出极限严格定义的人,虽说并不是现在通用的epsilon-delta语言(这个定义将在几十年后由号称现代分析之父的维尔斯特拉斯给出),但是在数学思想上已经与现代定义基本一致了。有个这个定义,无法理解牛顿,莱布尼兹,拉格朗日,高斯解释的人八成还是不能理解这个定义,好处就是他们可以记住这个定义并且相信自己理解了这个概念。这种情况至今还经常出现在理工科学生的课堂里,当他们看到求导公式的时候,一切对极限的困惑立马烟消云散,他们要做到的只是记住这些公式和知道如何使用这些公式,殊不知所有这些公式都来自于他们的极限定义。对于一个把汽车作为代步的人来说,没有必要知道哪怕一丁点关于制造汽车的理论,对于一个仅仅把数学当做工具的人来说,也没有必要完全理解那些抽象的定义,可对于为他们制造合适的数学工具的人来说,这些严格的定义才是整个理论发展和完善的基石。柯西的贡献远不止这一点,个人认为其中最伟大的是开启了抽象化数学的先河。首先数学一直是很抽象的,你可以把几何图形的面积抽象成定积分,你也可以把一种物理状态抽象成一类微分方程,但是出发点都是具体的实际问题。而柯西在已经抽象的基础上又抽象化了一次,定义了一种结构,而不限定结构内的元素属性。他对任何满足这种结构的集合做了初步的研究,也就是群论的基础。抽象化有一个好处就是更加普世,也有一个坏处就是更加“难懂。”我个人倒是认为很多抽象的定义其实很自然,相比于需要大量计算的分析,我更喜欢代数这个相对抽象的分支。



数学到此为止,还是让我们看看有什么卦可以八,有什么情可以煽。(再次感谢“歪写”这个无敌挡箭牌,让我可以在数学这个严肃的题目下做娱乐性的叙述,如果有一天还觉得不过瘾,我可能会换上“胡写”的防弹衣。)

柯西从自己的家庭里继承两样对他一生包括学术生涯都有影响的东西,一是对于天主教的虔诚,二是对波旁王朝的忠心。很多数学家都有自己的信仰并且很虔诚,比如牛顿,一直是上帝的崇拜者,晚年热衷神学;再比如欧拉,父亲是牧师,相信他失明的时候支撑他的不单有数学,还有信仰。但是柯西的虔诚显然超过了他们,并在某种程度上影响了他对科学的判断,这个我们稍后会提到,先让我们看看柯西的身世。柯西的父亲是波旁政府里的一名议会律师,同时也是巴黎警署的一名中尉,这样的家庭背景在大革命时期能够保住性命就已经是很幸运的了。老柯西带着全家逃到了乡下一个叫Arcueil的村庄,并开始了长达十余年的隐居生活。柯西的童年不是那么幸福,家里吃不饱穿不暖,外面所有的学校都关闭了,有文化的人被大批的送上断头台,看起来柯西即不可能也没有必要接受任何教育。幸运的是,柯西有个好爸爸,他自己编写了教材来完成对孩子们的教育,特别是为了培养孩子们的兴趣,有几本教材是用诗歌体写成。在学习自然科学知识的同时,小柯西也领略到了文学和诗歌的美,并且此后一生都痴迷于法文诗和拉丁文诗。此外,柯西一家还有一个值得一提的邻居,就是在大革命里如鱼得水的拉普拉斯。尽管拉普拉斯不是什么道德模范,但是他有一个优点就是喜欢交际而且平易近人。很快拉普拉斯就在他贫穷的邻居家里看到了营养不良的柯西,并且发现了他的数学才能。拉普拉斯没有想到的是这种才能在几年以后会让他惊出一身冷汗,差点心脏病发作。

十八世纪的最后一年,大革命终于结束了,老柯西得以重新回到巴黎工作,作为上院秘书的他在卢森堡宫里有一间自己的办公室,而少年柯西也把自己的书房搬到了这间办公室,于是他会经常见到老爸的一位同事,巴黎综合工科学校的数学教授拉格朗日。和拉普拉斯一样,没过多久,拉格朗日就发现了柯西在数学方面的与众不同,并且当众夸奖柯西道,“作为数学家的我们迟早要被这个瘦小的年轻人取代。拉格朗日年轻的时候曾因为过度劳累,饱受疾病的困扰,看到柯西瘦弱的身体,他给了老柯西一个很特别的忠告,“在十七岁之前,多对柯西进行文学方面的教育,而不要让他接触任何数学书籍。”老柯西很好的完成了这个任务,从十三岁进入学校开始,柯西就用法语,希腊语,拉丁语在五花八门诗歌和作文比赛里折各种桂,独占不同的鳌头,很快成为学校里的明星, 除了不会开车,整个就是一个法国版韩寒。

二十二岁的时候,柯西在拉格朗日的鼓励下,发表了关于正多面体的一系列论文来回答当年巴黎科学院的金奖题目。作为审稿人之一的勒让德对论文给予了高度评价,并预言柯西在数学方面必有一番作为。至此,柯西得到了三L的一致肯定。不过另外一个审稿人马吕对柯西所使用的方法持怀疑态度,虽然马吕在数学界不是什么大人物,但是他的怀疑在一百年以后被证明是有道理的。柯西的论文并没有获奖,但是里面有一个关于一个多面体的面数(F),边数(E)和顶点数(V)的简洁而优美的结论,E+2=F+V。这个公式是欧拉首先发现的,柯西重新发现推广了它并给出了一个严格的证明。

二十六岁的时候柯西因为证明了费马留下的一个困惑大家已久的定理而引起轰动同时也把他带到当时第一流数学家的行列。这是一个数论的定理,在叙述它之前,先让我们定义一下三角形数,平方数,五边形数,……。所谓三角形数就是可以将这个数字那么多的点排列成一个等边三角形。比如1,3,610……6个点组成的等边三角形有三行,分别是一个点,两个点和三个点。平方数很明确就是某个整数的平方,比如1,4,9……。几何上,平方数个点可以被排列成一个正方形。相似的,我们可以定义五边形数,六边形数(如图)




这个定理是这样的,任何一个正整数都是三个三角形数的和,四个平方数的和,五个五边形数的和,……,nn边形数的和,有一点要注意就是01属于所有这些类型。这个定理看起来并不难,但是欧拉,拉格朗日和勒让德都被难住了,高斯也只证明了三角形数这一个情形。

 

二十七岁的时候柯西成为法国科学院院士。这件事在当时引起了非常大的争议,倒不是因为柯西不够资格,而是因为他的院士席位是从蒙日手里接过来的。这个故事说来话比较长,我这里就短说一下吧。蒙日是十八世纪法国的一位数学家,他最突出的贡献是发明了画法几何,也就是如何把三位图形画在二维的平面里,如今这个技术只是高中几何里面一个必备的技巧,但在发明之初,这个并不复杂技术为简化和直观化许多复杂的制图带来了革命性的突破。有两个小故事可以看出蒙日的为人。有一次蒙日参加一个聚会时听到一个贵族因为遭到拒绝而在说一个寡妇的坏话,蒙日既不认识这个贵族,也不认识那个寡妇,但是蒙日从人群中挤过去给了贵族下颚一拳。几个月后蒙日在另一个聚会上被一位少妇吸引,经人介绍,这位少妇竟然就是蒙日打抱不平的主人公,于是他们顺理成章地开始了幸福的生活。三十四岁的时候蒙日被任命为海军军官候补生资格考试的主考官以接替去世的前任主考人,海军部长要求他重新编写一部教材,但是蒙日拒绝了,理由是当时使用的教材的版税是前任主考人遗孀的唯一收入。蒙日出生于一个贫民家庭,父亲是个磨刀匠,所以在大革命期间,蒙日毫不犹豫的支持革命党人,并与拿破仑成为了好友。蒙日对拿破仑的忠诚不是出于对名誉和金钱的渴望而是出于对自身阶级的忠诚。当拿破仑被流放的时候,蒙日依然没有改变他的忠诚,百日王朝结束后,蒙日拒绝效忠波旁王朝,这就回到了本段开头那一幕,于是蒙日从科学院院士的名单被除名了,而号称要把科学与政治分开的其他院士集体沉默,这件事在当时的法国引起不小的反响,很多人声援蒙日,就是在这种情况下,柯西接替了蒙日。应该说柯西是当之无愧的,但因为政治的原因,柯西得到了一些非议,实际情况是,柯西是蒙日最好的继承人,在忠诚方面,再没有一个人能像柯西这样,如此地接近蒙日了。

现在来说说柯西让拉普拉斯惊出一身冷汗的发现吧,关于无穷级数收敛的定义和判定。一个简单的例子
1/(1+x)=1-x+x^2-x^3+x^4……,这个等式并不是什么时候都成立,比如说x=2的时候就不行,现在我们都知道原因是右边的级数在x=2这一点不收敛。柯西是第一个给收敛进行严格定义的人,并给出了一些判别方法。拉普拉斯在他的巨著《天体力学》里使用了很多无穷级数进行计算,但是他本人并不知道还有收敛这一回事。但是一个数学家的直觉救了他,在用柯西的方法验证了所有他使用的级数都是在收敛的情况下时,他长长的松了一口气。

 

作为一个波旁王朝的坚定支持者,柯西在王朝复辟以后得到了不计其数的荣誉,除了科学院院士,还是巴黎综合工科学校,法兰西学院和索邦大学的数学教授, 他在欧洲的声誉甚至超出了高斯。然而在四十岁的时候,王朝的结束让这一切戈然而止。宣誓过效忠查理的柯西自动放弃了这一切,离开了妻子和两个年幼的女儿,离开了法国,过起了流浪的生活。他先去了瑞士,打算找一个能继续发挥他才能,并忘记烦恼的工作。不过没过多久,意大利国王听说柯西正在找工作,就邀请他到都灵做数学教授,柯西非常高兴,并展现了他的另一方面天赋,很快的学会了意大利语,然后开始用这种语言在都灵授课。

 

漂泊了十年之后,柯西回到巴黎,回到了科学院,并在计量局找到了工作,但由于他坚持不宣誓效忠当时的政府,为了工作他不得不与政府展开了一场旷日持久的战争。应该说胜利属于柯西,凭借一封公开信,柯西取得了广大人民群众的支持,也得到了政府的默许,在此后无论政府如何改变,柯西始终忠于他宣誓过的查理。柯西与蒙日出身于不同的阶级,虽然我们很难分辨哪一个阶级更正义,他们都从始至终的忠于自己的阶级,从道德的角度来说,他们一样的高尚。

 

和欧拉一样,柯西是一个高产的作家,他一共有789篇论文,其中不乏几百页的长篇大论。在那个年代,出论文是要自费或者学校掏钱的,而他不但产量大而且还有作文大赛冠军的底子,动不动就是上百页,弄得科学院学报成了他自己专刊似的,于是学报几次更改投稿规则就来限制柯西,他的很多论文也因此在当时迟迟不能发表。柯西后来实在不过瘾,就自己创办了一个刊物,专门发表自己的论文,据说销量还不错。

 

柯西一生被人诟病的是他过于虔诚的信仰,三句话不离主基督耶稣,要是你想跟他讨论或者向他学习任何数学知识,那么你就得先忍受他的一通传教。而且他将这种态度带到了科学领域里,比如他当评审的时候,不光看作者的数学水平,还要给天主教徒附加分。这一点在他晚年的时候更为突出。有道是皇天不负有心人,在柯西孜孜不倦的努力下,终于成功的把福音传给了埃尔米(Hermite,让天堂里又多了一位数学家。此外,在柯西忙碌的一生中,丢失过两次论文,都不是自己的论文,这两次过失直接或间接地改变了两位天才的命运,他们都将在后文中出现,所以这里就先不提及他们的名字了。

 

让我们用柯西生命中的最后一句话作为本章的结束语,“人们走了,但是他们的功绩留了下来。(Men
pass away but their deeds abide)”

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