经典证明:几乎所有有理数都是无理数的无理数次方

from Matrix67: My Blog http://www.matrix67.com/blog/archives/4984

    一个无理数的无理数次方是否有可能是一个有理数?这是一个非常经典的老问题了。答案是肯定的,证明方法非常巧妙:考虑根号 2 的根号 2 次方。如果这个数是有理数,问题就已经解决了。如果这个数是无理数,那么就有:

      

    我们同样会得到一个无理数的无理数次方是有理数的例子。

    这是一个典型的非构造性证明的例子:我们证明了无理数的无理数次方有可能等于有理数,但却并没有给出一个确凿的例子。毕竟我们也不知道,真实情况究竟是上述推理中的哪一种。那么,真实情况究竟是上述推理中的哪一种呢? Gelfond-Schneider 定理告诉我们,假设 α 和 β 都是代数数,如果 α 不等于 0 和 1 ,并且 β 不是有理数,那么 α 的 β 次方一定是超越数。根据这一定理我们可以立即看出,根号 2 的根号 2 次方真的是一个无理数,实际情况应该是上述推理中的后者。

    那么,是否存在一个无理数 a ,使得 a 的 a 次方是有理数呢?最近, Stan Dolan 证明了这样一个结论:事实上,几乎所有 (1, ∞) 里的有理数都是某个无理数 a 的 a 次方。


    注意到当 x 大于 1 时,函数 f(x) = xx 是连续单调递增的,因而对于所有 (1, ∞) 里的有理数 r ,一定存在唯一的 a ,使得 aa = r 。不妨假设 a 是一个有理数,它的最简分数形式是 n / m 。如果 m = 1 ,那么我们会有平凡解 nn = r 。下面我们证明, m 是不可能大于 1 的,否则会产生矛盾。

    假设有理数 r 的最简分数形式是 c / b ,于是我们有:

      (n / m)n / m = c / b

    或者说:

      nn · bm = mn · cm

    注意到, mn 是 nn · bm 的约数。然而, m 和 n 是互质的, mn 与 nn 没有公共因子,因而 mn 一定是 bm 的约数。同理, bm 是 mn · cm 的约数,但由于 b 和 c 是互质的,因此 bm 一定是 mn 的约数。 mn 和 bm 怎么可能互为对方的约数呢?只有一种可能,就是 mn 等于 bm

    既然 mn = bm ,说明 m 和 b 肯定有大于 1 的公因数。假设 p 是 m 和 b 的某个公共质因数。我们把 m 和 b 中的所有质因数 p 都提出来,将它们写成 m = pi · k 和 b = pj · l ,其中 k 和 l 都不再含有质因数 p 。于是, mn = bm 就可以重新写为:

      pi·n · kn = pj·m · lm

    既然 mn 是等于 bm 的,它们一定含有相同数量的质因数 p ,因而 i·n = j·m ,可知 m 是 i·n 的约数。但是 m 和 n 是互质的,因此 m 一定是 i 的约数。最后,注意到 pi 是 m 的约数,从而也就是 i 的约数。于是矛盾产生了:由于 p ≥ 2 ,因此 pi 一定严格地大于 i ,不可能是它的约数。

    因此,对于所有大于 1 的有理数,除非它恰好等于某个整数 n 的 n 次方,否则它都将是某个无理数 a 的 a 次方。

 
来源:http://www.mathteacherctk.com/blog/2012/04/a-representation-of-rational-numbers/

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