【编程之美】金刚坐飞机问题

from 博客园_首页 http://www.cnblogs.com/python27/archive/2012/04/08/2438009.html

 题目描述

现在有一架飞机要起飞,乘客们正准备按机票号码(1,2,3…,N)一次排队登机。突然来了一只大猩猩(金刚)。他也有机票,但是他插队第一个登上了飞机,然后随意的选择了一个座位坐下了。根据社会的和谐程度,其他的乘客有两种反应:

1.乘客们都义愤填膺,“既然金刚同志都不守规矩,为什么我要遵守?”他们也随意的找位置坐下,并且坚决不让座位给其他乘客。

2.乘客们虽然感到愤怒,但是还是以“和谐”为重,如果自己的位置没有被占领,就赶紧坐下,如果自己的位置已经被别人(或者金刚同志)占了,就随机的选择另一个位置坐下,就开始闭目养神,不在挪动。

问题:在这两种情况下,第i个乘客(出去金刚同志外)做到自己原机票位置的概率分别是多少?


问题解答

第一问:该问题相当于排序问题,总的排序总数是n个人的全排列为N!,如果第i个人做到第i个位置上,那么其余n-1个人的全排列为(N-1)!,综上所求概率为(N-1)!/N!=1/N。

第二问:《编程之美》讲得比较复杂,没怎么看懂,在网上找了几个博文对该问题的解答,综合一下,这样理解比较容易:

假设:F(i,n)表示在有n个座位的前提下,第i个人恰好做到第i个座位的概率;

P(K=j)表示金刚刚好坐在位置j上的概率;

P(i|K=j)表示在金刚做到位置j的前提下,第i个人恰好做到第i个位置上的概率。

由以上的假设根据全概率公式有:

由于金刚坐到每一个位置上的概率是相等的,容易知道P(K=j)=1/n;

接下来我们只需要考虑后一项条件概率的值即可。

(1)如果j=1,则表明金刚坐到第一个位置,则i坐到i位置的概率为1;如果j>i,前面的人必然按位置坐,所以概率也为1.所以我们只需要考虑1<j<i的情况,见下。

(2)在1<j<i的情况下,即金刚坐在第j(1<j<i)个位置上,则j个乘客除非坐在金刚的位置上,否则同样要同样要抢占其他人的座位。这和金刚的行为是相似的(因为金刚除非坐在自己的位置上,否则抢占别人的座位),所以我们可以讲第j个乘客当做新的金刚,此时还剩余n-j个座位,同时把剩余乘客的编号也都减去j,则先前的第i个乘客座位号变为i-j,此问题和原问题相似,只是规模更小,所以该种情况下,条件概率为F(i-j,n-j).

所以有如下等式:

然后可以从上面的公式推出递推式:F(i,n)=F(i-1,n-1).(笔者验证了一下,公式是对的,但是不会推导,希望有会的网友指点)。

有上面的递推公式,我们可以到:nF(i,n)=(n-i+1)+(i-2)F(i,n),则问题的最终答案为:


参考文献:

1. 《编程之美》P265-P267

2. http://hi.baidu.com/maxint/blog/item/8ac3c49707911f6354fb96e9.html

3. http://blog.sina.com.cn/s/blog_7cd1ba470100rgkz.html

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