怎样做一名技术流NBA“赛事指导”

from 科学松鼠会 http://songshuhui.net/archives/64952

本文作者:Albert_JIAO

2012 年 NBA 全明星周末刚刚举行不久,在巨星们各种秀技能的时候,死理性派冒充了一把技术指导,在战术板上列了一大推公式和数据,向那些久经赛场但“不懂科学”的队员们解释,关键时刻这球该怎么打。怎样做出有技术含量的指导?当然是靠高端的数学模型。

数学计算决定犯不犯规

让我们穿越回 2010 年 NBA 的一场比赛,火箭队对阵公牛队。在比赛还剩 10 秒结束的时候,火箭队领先 3 分,此时球权在公牛队手中。火箭队虽然离胜利只有一步之遥, 但公牛队还并没有放弃,他们希望在最后一次进攻中扳平比分,把比赛拖入加时。面对这最后一攻,火箭队其实有两个策略可供选择:一是尽力防守阻止公牛队投三分;二是主动犯规,不让公牛队有投三分的机会。如果当时你是火箭队的技术指导员,你会建议主教练选择哪个?

这其实是一道数学题,不妨让我们来算一算。

根据 NBA 的数据,2010 整个赛季三分球平均命中率是 35.5%,不过在离比赛结束还有 10 秒或更短、进攻方落后 3 分的特定情况下,面对严防死守和巨大压力,命中率就要打折扣了,只有大约 20%。火箭队如果主动犯规让进攻方罚球两次,会怎么样?公牛队若想扳平比分,在火箭队犯规后可以选择:罚进第一球罚失第二球,同时还要抢到进攻篮板,之后再把球投进,完成一次“1+2”。

一般情况下,罚进第一球的概率是 75.6%,任务并不算难。故意投失第二个罚球,应该属于 100% 可以完成的任务。但是第二个罚球不进,公牛队抢下进攻篮板的概率就比较小了,根据 NBA 的统计数据,只有 13.9%。到此为止,如果三件事情都发生,概率是 75.6% × 100% × 13.9% = 10.5%。另一方面,NBA 两分球得分率大约是 50%,也就是说在抢到进攻篮板后,公牛队最后能够进入加时赛的可能性也就是 10.5% 的一半,5% 左右。

按照以上的计算来看,两种策略比较起来,选择主动犯规,火箭队有 95% 的获胜希望;不犯规防 3 分,火箭队只有 80% 的获胜希望。还是犯规策略更胜一筹。现实情况是,主教练阿德尔曼采取了与上面计算得出的结论相反的策略,也就是不犯规,所有队员都踩在三分线上防守。结果公牛队的当家球星德里克•罗斯用一道美丽弧线绝杀了火箭队。双方只好打加时赛,火箭队最终输掉比赛。

当然,计算结果并不能代替主教练(否则球队老板雇个数学家就好了,那可比主教练便宜得多)。因为这个模型还很简单和理想化,忽略了很多影响因素。比如公牛队不同球员之间的三分球、罚球命中率相差很大,一个平均值意义有限;另外模型也只考虑了一个进攻回合的情况,实际上双方可能会反复互相犯规,导致局势更复杂;除此之外失误情况我们也没有考虑。虽然如此,这个结果依然有一定的参考价值。如果概率模型足够复杂和完备,准确率和可靠度超过“技术指导”,也并非一件不可能的事情。

24秒何时出手才最好

除了教球员们怎么防守,技术流的指导当然还会教球员们怎么进攻。美国物理学教授布莱恩•斯金纳(Brian Skinner)就曾做过研究,计算出了每轮进攻什么时候出手最好。我们知道按照比赛规则,每个回合有24秒的进攻时间,选择什么时机出手,可是影响成功得分的关键因素。

布莱恩把“何时出手”看做和著名的 37% 法则( 参看 死理性派恋爱法:拒绝掉前面37%的人 )看成同一类题目。在球场上 24 秒钟中某一时刻,如果遇到一个投篮机会,球员会考虑是直接投还是传给队友继续寻求更好的机会。

不妨把每一次投篮机会的好坏都用一个“机会值”表示,假设这个值最差(f1)到最好(f2)是均匀分布、随机出现的。另外布莱恩在模型里还假定,在 24 秒中的某一时刻如果球队遇到一个得分机会,要看这次机会值是否高于一个临界值,只有高于临界值时才值得一试。临界值跟剩下的时间成正比, 24 秒剩下的时间越少,对投篮机会的要求就要越低,例如 24 秒钟声即将临近,进攻队员别无选择,即使此时被对方五人围成一团,投篮机会很差(f1),也只好一试。此时的临界值很低。相反,如果 24 秒进攻时间刚刚开始,机会不好的话还可以先组织一下,等待更好的得分机会,比如发现对方篮下出现空挡时(f2)。 24 秒刚开始时的临界值会比较高。

除此之外,临界值也跟在剩下的时间能有多少次投篮机会,以及失误出现的概率有关(控球的时间越多,出现失误的概率就越大)。根据 NBA 的统计数据,布莱恩教授的模型假定投篮机会是随机产生的,平均 2.8 秒会有一次;失误也是随 机产生的,平均 100 秒会有一次。据此他为 24 秒中的每一个时刻计算出了相应的临界值。

当然真实比赛中,对于一次投篮机会,很难判断什么样的投篮“机会值”是 2,什么样的“机会值”是 1,不过一定符合有好有坏的分布。布莱恩虽然没办法说明具体就一个投篮机会而言是投还是不投,但我们可以根据这个模型和 NBA 的统计数据估算出平均情况下,在 24 秒的各个时刻,最佳的出手比例分配应该是多少。比如计算结果认为在最佳方案中,有 12% 的投篮在 9 到 10 秒的时间段内发生。球队尽量按照图里这条黑色曲线的比例分配 24 秒里各个时间段的出手比例,可以以获取最大的得分率。

从上图可以看到,现实中 NBA 球队的平均出手时间相比于最佳曲线普遍稍晚一些(深红色点),如果改按照计算出的最佳时间分配出手,计算表明,球队每场比赛可以平均多得 4.5 分。果真如此的话,很多经常以小比分输掉比赛的球队就可以有机会反败为胜了。

手会热的发烫吗?

不少常看NBA比赛的球迷会有这样的感觉,某一球员可能在比赛的一段时间内突然爆发,接连命中十个八个,越投越来劲,怎么投怎么有。孙指导,张指导常常会把这种情况解释为“手热得发烫”。当然与之相反,球员也有“手冷”的时候,越投越投不中。一个球员接连投中几次之后,手真的会“变热”,再次投篮的命中率上升吗?理性的研究与直观的“赶脚”却是相反的。

首先任何人都承认,不管姚明,科比还是林书豪,比赛中都有那么几分钟超常发挥、高于平均命中率的时候,也一定有几分钟失常发挥的局面,只是这种超常失常的原因主要是因为巧合,还是真的因为命中之后让他们的手变热造成的?

拿扔硬币来说,虽然理论上正反两面的概率都是50%,但实际上连续扔很多次,也会遇到好几次总是正面,好几次总是反面的情况,可是硬币不会“热得发烫”,这只是统计上正常的波动。

早在二十多年前,美国康乃尔大学和斯坦福大学的三位研究者收集了当时费城76人队的比赛数据,对“手变热”一探究竟,看一看NBA比赛中连续投中、连续失手的情况是否和扔硬币一样,只是正常统计波动造成的错觉。

他们首先统计了费城76人队很多场比赛中,九名主力队员在连续投失三个球,两个球,一个球以及连续投进三个球、两个球、一个球六种情况下再次投篮分别的命中率,结果发现各名球员在六种情况下的命中率是基本相同的,甚至大多数球员在投失之后的命中率反而略高于投中之后的命中率。在统计上,只有这六种情况下存在差异,而且差异达到一定程度,才能断定“手热”,“手冷”存在,所以他们得出的结论只能是“无证据表明之前几次投篮结果与下一次投篮结果有关”。

接着,他们又把每位球员比赛中所有的投篮结果列成一列数据1110011010100100101……(1表示投中,0表示没有投中),连续的一个或者几个1看作一个“小段子”(像最前面的111)。如果手热现象存在,这些“小段子”的平均长度,也就是每次连投连中的平均个数会高于随机情况下的预期值。他们的结论是“没有异常”,也就是说这段数据更像是随机分布。

他们还用了一招,把上面的数据每相邻4个数字分为一组,看一下四投零中,四投一中,四投二中,三中,四中的情况的比例分布是否与随机情况的期望值有所不同,结果仍然是“完全正常”。

当然,有人会觉着一位球员连续投中之后,对方球员会加强对他的防守,他“手热”可能真的存在,但是表现不出来。研究者也研究了不存在对方球员干扰问题的罚球情形,发现第一个罚球投进以后,对于第二个罚球是否投进没有关联。他们还找了大学生球队的队员,在没有防守的情况下,让他们做不断变换位置投篮的试验,并且要求球员和旁观者估计什么时候“手热”,什么时候“手冷”,结果发现他们的数据仍然符合以上的结论,而且预测的正确率也就是半对半错,再一次说明“手热”并不存在。

根据他们的研究,前后投篮命中率之间的关联性是“怎么统计,怎么没有”,“怎么投怎么进”的情况更接近于扔硬币的自然波动,“手变热”、“手变冷”情况从理性角度完全看不到踪影。

参考资料

[1] Late-Game Defensive Strategy with a 3-Point Lead
[2] http://www.psych.cornell.edu/sec/pubPeople/tdg1/Gilo.Vallone.Tversky.pdf
[3] The problem of shot selection in basketball, Brian Skinner

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